复变函数

一、复变函数定义

$D$ 为复平面上的一点集，如果对 $D$ 中任意一点 $z$ ，有确定的（一个或多个）复数 $ω$ 同它对应 $ω = f (z)$ ，则称在 $D$ 上定义了一个复变函数，也可看做一个映射 $z = x + i y \to w = u + i v$

一个复变函数相当于一对二元实变函数
$ω = f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ ， $u (x, y)$ 和 $v (x, y)$ 为实值函数

二、复变函数中的映射

原象： $z$ 平面上的点表示自变量的值；点集 $G$ ：定义集合
象（映象）： $ω$ 平面上的点表示函数的值；点集 $G^{*}$ ：函数值集合

$z = x + i y$ $ω = u (x, y) + i v (x, y)$ $z \to ω$ 为映射

例子：对于映射 $ω = z + \frac{1}{z}$ , 求圆周 $| z | = 2$ 的象
令 $z = x + i y ω = u + i v$

\begin{aligned} ω = z + \frac{1}{z} \Leftrightarrow u + i v = x + i y + \frac{x - i y}{x^{2} + y^{2}} \\ u = x + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} v = y - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \\ 原 象 {\begin{cases} x = 2 \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{cases} 0 \leq θ \leq 2 π \\ 象 {\begin{cases} u = \frac{5}{2} \cos θ \\ v = \frac{3}{2} \sin θ \end{cases} 0 \leq θ \leq 2 π \end{aligned}

三、极限

函数 $ω = f (z)$ ，在 $z_{0}$ 的去心邻域 $0 < | z - z_{0} | < ρ$ 内有定义
若有确定的复数 $A$ 存在，对于任意给定的 $ε > 0$ , 总存在一个正数 $δ$
对满足 $0 < | z - z_{0} | < δ (0 < δ \leq ρ)$ 的一切 $z$ ，都有 $| f (z) - A | < ε$
则 $A$ 为 $z$ 趋于 $z_{0}$ 的极限，记作 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = A$

\begin{aligned} lim_{z \to z_{0}} f (z) & = A \\ lim_{z \to z_{0}} g (z) & = B \\ lim_{x \to x_{0}} [f (z) \pm g (z)] & = A \pm B \\ lim_{z \to z_{0}} f (z) g (z) & = A B \\ lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z)}{g (z)} & = \frac{A}{B} (B \neq 0) \end{aligned}

$f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$
$A = u_{0} + i v_{0}$ $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$
$lim_{z \to z_{0}} f (z) = A$ 的充分必要条件为：

\begin{aligned} lim_{\begin{array}{c} x \to x_{0} \\ y \to y_{0} \end{array}} u (x, y) & = u_{0} \\ lim_{\begin{array}{c} x \to x_{0} \\ y \to y_{0} \end{array}} v (x, y) & = v_{0} \end{aligned}

四、导数

lim_{Δ z \to 0} \frac{Δ ω}{Δ z} = lim_{Δ z \to 0} \frac{f (z_{0} + Δ z) - f (z_{0})}{Δ z}

复变函数的导数

定义中： $z_{0} + Δ z \to z_{0}$ 以任意方式趋于 $z_{0}$ $Δ z = Δ x + i Δ y$
如果函数 $f (z)$ 在区域 $D$ 内处处可导，就称 $f (z)$ 在区域 $D$ 内可导

例子： $f (z) = x + 2 y i$

由于要求任意方式趋于极限，假设取 $y = k x Δ y = k Δ x$

\begin{aligned} lim_{Δ z \to 0} \frac{Δ f}{Δ z} & = lim_{Δ z \to 0} \frac{Δ x + 2 Δ y i}{Δ x + Δ y i} = \frac{1 + 2 k i}{1 + k i} \end{aligned}

极限不存在，函数不可导（实际上之后可以直接利用解析的充要条件快速判断）

五、连续

函数 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处可导 $\Rightarrow$ 则在 $z_{0}$ 处一定连续

如果 $lim_{z \to z_{0}} f (z) = f (z_{0})$ 成立，则 $f (z)$ 在 $z_{0}$ 处连续
如果 $f (z)$ 在 $D$ 的每一点连续，则称 $f (z)$ 在 $D$ 内连续

$f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$
在 $z_{0} = x_{0} + i y_{0}$ 处连续的充分必要条件， $u (x, y)$ 和 $v (x, y)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处连续

六、微分

与实变函数的微分概念完全一致

\begin{aligned} Δ ω & = f (z_{0} + Δ z) - f (z_{0}) \\ = f^{'} (z_{0}) \cdot Δ z + ρ (Δ z) Δ z \\ d ω & = f^{'} (z_{0}) \cdot Δ z \end{aligned}

在 $z_{0}$ 处可导与在 $z_{0}$ 处可微等价
如果函数 $f (z)$ 在区域 $D$ 内处处可微，就称 $f (z)$ 在区域 $D$ 内可微